Demostración de la fórmula de Jacobi
En álgebra lineal, el adjunto o adyacente clásico de una matriz cuadrada A es el transpuesto de su matriz cofactora y se denota por adj(A).[1][2] También se conoce ocasionalmente como matriz adjunta,[3][4] o “adjunto”,[5] aunque este último término hoy en día normalmente se refiere a un concepto diferente, el operador adjunto que para una matriz es el transpuesto conjugado.
Para más detalle, supongamos que R es un anillo unital conmutativo y A es una matriz n × n con entradas de R. El (i, j)-minor de A, denotado Mij, es el determinante de la matriz (n – 1) × (n – 1) que resulta de borrar la fila i y la columna j de A. La matriz cofactora de A es la matriz n × n C cuya entrada (i, j) es el (i, j) cofactor de A, que es el (i, j)-minor multiplicado por un factor de signo:
El -1 de la segunda fila, tercera columna del adjugado se calculó como sigue. La entrada (2,3) del adjunto es el cofactor (3,2) de A. Este cofactor se calcula utilizando la submatriz obtenida al eliminar la tercera fila y la segunda columna de la matriz original A,
Determinante invertible
Una matriz se utiliza a menudo para representar los coeficientes en un sistema de ecuaciones lineales, y el determinante se puede utilizar para resolver esas ecuaciones. El uso de determinantes en cálculo incluye el determinante jacobiano en la regla de cambio de variables para integrales de funciones de varias variables. Los determinantes también se utilizan para definir el polinomio característico de una matriz, que es esencial para los problemas de valores propios en álgebra lineal. En geometría analítica, los determinantes expresan los volúmenes con signo de [latex]n[/latex]-dimensiones de [latex]n[/latex]-dimensiones de paralelepípedos. A veces, los determinantes se utilizan simplemente como una notación compacta para expresiones que, de otro modo, serían difíciles de escribir.
Se puede demostrar que cualquier matriz tiene una inversa única si su determinante es distinto de cero. También se pueden demostrar otros teoremas, como que el determinante de un producto de matrices es siempre igual al producto de determinantes y que el determinante de una matriz hermitiana es siempre real.
Matriz de cofactores
Respuesta La Regla de Cramer es un componente específico para la respuesta de un dispositivo de ecuaciones con tantas ecuaciones como incógnitas, es decir, una matriz rectangular, legítima cada vez que el dispositivo tiene una solución única. Expresa la respuesta en frases de los determinantes de la matriz (rectangular) de coeficientes y de matrices recibidas de ella cambiando una columna por el vector de facetas de mano propia de las ecuaciones.
Respuesta. El escalar específico presenta matrices rectangulares globales que son distributivas sobre la expansión matricial, multilineales dentro de las colas y secciones, y toma la tasa de uno para la matriz unitaria. Su abreviatura es “det”.
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Calculadora de matrices conjugadas
Si #A# es una matriz invertible, entonces podemos escribir la solución de una ecuación de la forma #A\vec{x} = \vec{b}# en el vector desconocido #\vec{x}# directamente en términos de los determinantes de submatrices que se producen en la expansión de filas o columnas. Estas submatrices son las #((n-1)\times(n-1))#-matrices #A_{ij}# que se pueden obtener de #A# borrando la #i#-ésima fila y la #j#-ésima columna. Además, el siguiente concepto desempeña un papel fundamental.
Por #\vec{k}_1,\ldots ,\vec{k}_n# denotamos las columnas de #A#. Sea #\vec{b}# cualquier vector en #\mathbb{R}^n#. Por #A_j (\vec{b} )# indicamos la matriz que se puede obtener de #A# sustituyendo la columna #j#-ésima por #\vec{b}#. Entonces tenemos que \[ \det (A_j(\vec{k}_\ell))=\begin{casos}\det(A)&\text{si } \ell=j\\ 0&\text{otherwise}\end{cases}\]
1. Expandiendo el determinante \(\det (A_j(\vec{k}_\ell))\) con respecto a la #j#-ésima columna, nos encontramos con \[\begin{array}{rcl}\det(A_j(\vec{k}_\ell)) &=& \sum_{i=1}^n (-1)^{i+j}a_{i\ell}\det (A_{ij})\&&\phantom{xxx}\color{azul}{\text{\}la }j\text{- de A_j(\vec{k}_\ell)\text{ es }\vec{k}_\ell=\cv{a_{1\ell}\vdots\a_{n\ell}}&&=& \sum_{i=1}^n \left((- 1)^{i+j}\det (A_{ij}) \right)\cdot a_{i\ell}\&&phantom{xxx}\color{azul}{\text{intercambiado el orden de los dos últimos factores}\&=&\text{el} (j,\ell)\text{-entrada de }\text{adj}(A)}, A{\\}&&\phantom{xxx}\color{blue}{(-1)^{i+j}\det (A_{ij})=\text{el }(j,i)\text{-entrada de }\text{adj}(A)} \end{array}]En el último paso, utilizamos la definición del producto matricial.