Matriz conjugada
El adjunto de una matriz es uno de los métodos más sencillos para calcular la inversa de una matriz. Matriz adjunta es otro término utilizado para referirse a la matriz adjunta en álgebra lineal. Una matriz adjunta es especialmente útil en aplicaciones en las que no se puede utilizar directamente una matriz inversa.
El adjunto de una matriz se obtiene tomando la transpuesta de los elementos cofactores de la matriz dada. En este artículo, vamos a aprender sobre el adjunto de una matriz, su definición, propiedades con ejemplos resueltos.
El adjunto de una matriz B es la transposición de la matriz cofactor de B. El adjunto de una matriz cuadrada B se denota por adj B. Sea B = [\(b_{ij}\)] una matriz cuadrada de orden n. Los tres pasos importantes para encontrar el adjunto de una matriz son:
El adjunto adj(B) de una matriz cuadrada B de orden n x n, puede definirse como el transpuesto de la matriz cofactora. Consideremos la matriz B de 2×2 con los elementos \(b_{11}, b_{12}, b_{21}, b_{22}\), y sus elementos cofactores son \(B_{11}, B_{12}, B_{21}, B_{22}\) respectivamente. A continuación, el adjunto de la fórmula de la matriz es la siguiente:
¿Cómo se halla el determinante de una matriz cuando se le da el adjunto?
Búsqueda de la inversa mediante el adjunto de una matriz
Su fórmula es A-1 = (1/|A|) × adj(A). Aquí, |A| = el determinante de A. adj(A) = adjunto de A.
¿Puede haber determinante de una matriz rectangular?
La noción familiar de determinante se generaliza para incluir matrices rectangulares. Se da una expresión para la inversa normalizada generalizada de una matriz en términos de su determinante y se discute una posible generalización del complemento de Schur como aplicación sencilla.
¿Es el determinante distributivo sobre la suma
Una matriz no singular es una matriz cuadrada cuyo determinante no es igual a cero. La matriz no singular es una matriz invertible, y su inversa se puede calcular ya que tiene un valor determinante.Para una matriz cuadrada A = \(\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}\), la condición de que sea una matriz no singular es que el determinante de esta matriz A sea un valor distinto de cero. |A| =|ad – bc| ≠ 0.
El determinante de una matriz ayuda a encontrar si la matriz es una matriz singular o una matriz no singular. El determinante de una matriz no singular es un valor distinto de cero. El determinante de una matriz puede calcularse mediante operaciones con filas o columnas, o hallando el determinante mediante el cofactor de los elementos de la matriz.
Para la matriz cuadrada más simple de orden 1×1, que sólo tiene un número, el determinante es el propio número. Aprendamos a calcular los determinantes para las matrices de segundo orden y tercer orden.
Aquí se toma la primera fila para calcular el determinante de la matriz. Los elementos \(a_1, b_1, c_1\) se multiplican con sus respectivos cofactores, y la suma del producto de los elementos con sus respectivos cofactores, da el valor del determinante de la matriz cuadrada. Alternativamente, los elementos de cualquier fila particular o una columna de la matriz se puede utilizar para encontrar el determinante de la matriz.
Calculadora de matrices adjuntas
Una matriz se utiliza a menudo para representar los coeficientes en un sistema de ecuaciones lineales, y el determinante se puede utilizar para resolver esas ecuaciones. El uso de determinantes en cálculo incluye el determinante jacobiano en la regla de cambio de variables para integrales de funciones de varias variables. Los determinantes también se utilizan para definir el polinomio característico de una matriz, que es esencial para los problemas de valores propios en álgebra lineal. En geometría analítica, los determinantes expresan los volúmenes con signo de [latex]n[/latex]-dimensiones de [latex]n[/latex]-dimensiones de paralelepípedos. A veces, los determinantes se utilizan simplemente como una notación compacta para expresiones que, de otro modo, serían difíciles de escribir.
Se puede demostrar que cualquier matriz tiene una inversa única si su determinante es distinto de cero. También se pueden demostrar otros teoremas, como que el determinante de un producto de matrices es siempre igual al producto de determinantes y que el determinante de una matriz hermitiana es siempre real.
Matriz de cofactores
En álgebra lineal, la matriz adjunta o adjunta clásica de una matriz cuadrada A es la transpuesta de su matriz cofactora y se denota por adj(A)[1][2]. También se conoce ocasionalmente como matriz adjunta,[3][4] o “adjunta”,[5] aunque este último término hoy en día normalmente se refiere a un concepto diferente, el operador adjunto que para una matriz es la transpuesta conjugada.
Para más detalle, supongamos que R es un anillo unital conmutativo y A es una matriz n × n con entradas de R. El (i, j)-minor de A, denotado Mij, es el determinante de la matriz (n – 1) × (n – 1) que resulta de borrar la fila i y la columna j de A. La matriz cofactora de A es la matriz n × n C cuya entrada (i, j) es el (i, j) cofactor de A, que es el (i, j)-minor multiplicado por un factor de signo:
El -1 de la segunda fila, tercera columna del adjugado se calculó como sigue. La entrada (2,3) del adjunto es el cofactor (3,2) de A. Este cofactor se calcula utilizando la submatriz obtenida al eliminar la tercera fila y la segunda columna de la matriz original A,