Calcular la inversa de una matriz
La fórmula del cordón del zapato, algoritmo del cordón del zapato o método del cordón del zapato (también conocida como fórmula del área de Gauss y fórmula del agrimensor)[1] es un algoritmo matemático para determinar el área de un polígono simple cuyos vértices se describen por sus coordenadas cartesianas en el plano[2] Se denomina fórmula del cordón del zapato debido a la multiplicación cruzada constante de las coordenadas que forman el polígono, como si se enhebraran cordones de zapato[2] Tiene aplicaciones en agrimensura y silvicultura,[3] entre otras áreas.
La fórmula fue descrita por Albrecht Ludwig Friedrich Meister (1724-1788) en 1769[4] y se basa en la fórmula del trapecio descrita por Carl Friedrich Gauss y C.G.J. Jacobi[5]. La forma triangular de la fórmula del área puede considerarse un caso especial del teorema de Green.
La fórmula del área también puede aplicarse a los polígonos que se solapan entre sí, ya que el significado del área sigue siendo claro aunque los polígonos que se solapan entre sí no sean generalmente simples[6]. Además, un polígono que se solapa entre sí puede tener múltiples “interpretaciones”, pero la fórmula del cordón de zapato puede utilizarse para demostrar que el área del polígono es la misma independientemente de la interpretación[7].
Det(a+b)=det(a) + det(b)
Los inicios de las matrices y los determinantes se remontan al siglo II a.C., aunque pueden verse vestigios hasta el siglo IV a.C.. Sin embargo, no fue hasta casi finales del siglo XVII cuando reaparecieron las ideas y el desarrollo se puso realmente en marcha.
No es de extrañar que los inicios de las matrices y los determinantes surgieran del estudio de los sistemas de ecuaciones lineales. Los babilonios estudiaban problemas que daban lugar a ecuaciones lineales simultáneas y algunos de ellos se conservan en tablillas de arcilla. Por ejemplo, una tablilla de alrededor del año 300 a.C. contiene el siguiente problema
Hay dos campos cuya superficie total es de 1800 yardas cuadradas. Uno produce grano a razón de 23 fanegas por yarda cuadrada, mientras que el otro produce grano a razón de 12 fanegas por yarda cuadrada. Si el rendimiento total es de 1100 fanegas, ¿cuál es el tamaño de cada campo?
Los chinos, entre el 200 a.C. y el 100 a.C., se acercaron mucho más a las matrices que los babilonios. De hecho, es justo decir que el texto Nueve capítulos sobre el arte matemático, escrito durante la dinastía Han, ofrece el primer ejemplo conocido de métodos matriciales. En primer lugar, se plantea un problema similar al ejemplo babilónico anterior:-.
Límite superior determinante
Algunos de los métodos sugeridos fallarán en el caso de un polígono no convexo, como una media luna. He aquí uno sencillo que funcionará con polígonos no convexos (incluso funcionará con un polígono auto-intersecante como una figura de ocho, diciéndote si es mayoritariamente en el sentido de las agujas del reloj).
Suma sobre las aristas, (x2 – x1)(y2 + y1). Si el resultado es positivo, la curva gira en el sentido de las agujas del reloj; si es negativo, gira en sentido contrario. (El resultado es el doble del área encerrada, con la convención +/-).
Hallar el vértice con la y más pequeña (y la x más grande si hay empates). Que el vértice sea A, el anterior de la lista B y el siguiente de la lista C. Ahora calcula el signo del producto cruz de AB y AC.
Voy a dar otra solución porque es sencilla y no requiere un gran esfuerzo matemático, sólo utiliza álgebra básica. Calcula el área con signo del polígono. Si es negativa, los puntos se colocan en el sentido de las agujas del reloj; si es positiva, en sentido contrario. (Esto es muy parecido a la solución de Beta).
Identidades determinantes
Finalmente, se aplicó el análisis de trayectorias utilizando AMOS 5.0 (Arbuckle, 2003) para probar el modelo longitudinal completo para predecir la conducta de externalización a los 5 años, incluyendo: (1) todas las relaciones directas y moderadas entre los predictores y la conducta de externalización a los 5 años encontradas en el análisis de regresión; (2) las tres trayectorias mediadas significativas resultantes de los análisis de mediación; y (3) las relaciones longitudinales entre las evaluaciones de 15 y 28 meses de los dos factores de interacción padres-hijos (es decir, orientación efectiva e interacciones negativas padres-hijos). Un buen ajuste del modelo viene indicado por un estadístico χ
2, un índice de ajuste comparativo de Bentler (CFI) de 0,95 o superior y un error cuadrático medio de aproximación (RMSEA) de 0,05 o inferior. El análisis del modelo inicial arrojó un ajuste significativo (χ
Reimpresiones y autorizacionesSobre este artículoCite este artículoSmeekens, S., Riksen-Walraven, J.M. & van Bakel, H.J.A. Determinantes múltiples de la conducta externalizadora en niños de 5 años: A Longitudinal Model.