Matriz adjunta
El adjunto de una matriz es uno de los métodos más sencillos utilizados para calcular la inversa de una matriz. Matriz adjunta es otro término utilizado para referirse a la matriz adjunta en álgebra lineal. Una matriz adjunta es especialmente útil en aplicaciones en las que no se puede utilizar directamente una matriz inversa.
El adjunto de una matriz se obtiene tomando la transpuesta de los elementos cofactores de la matriz dada. En este artículo, vamos a aprender sobre el adjunto de una matriz, su definición, propiedades con ejemplos resueltos.
El adjunto de una matriz B es la transposición de la matriz cofactor de B. El adjunto de una matriz cuadrada B se denota por adj B. Sea B = [\(b_{ij}\)] una matriz cuadrada de orden n. Los tres pasos importantes para encontrar el adjunto de una matriz son:
El adjunto adj(B) de una matriz cuadrada B de orden n x n, puede definirse como el transpuesto de la matriz cofactora. Consideremos la matriz B de 2×2 con los elementos \(b_{11}, b_{12}, b_{21}, b_{22}\), y sus elementos cofactores son \(B_{11}, B_{12}, B_{21}, B_{22}\) respectivamente. A continuación, el adjunto de la fórmula de la matriz es la siguiente:
Operador autoadjunto
Adjunto de una matriz: Es el método más sencillo para calcular la inversa de una matriz. En álgebra lineal, una matriz es una matriz rectangular ordenada de números o funciones. Los números o funciones se denominan elementos o entradas de la matriz. Además, las matrices pueden clasificarse según el número de filas y columnas en las que se colocan los elementos.
Una matriz adjunta también se conoce como matriz adjunta. Se utiliza en ámbitos empresariales y científicos como la elaboración de presupuestos, la proyección de ventas y la estimación de costes. También se utiliza en otros campos, como la genética, la economía, la sociología y la gestión industrial. Conozcamos más sobre las propiedades del adjunto de una matriz 2×2 y 3X3, cómo hallar el adjunto de distintas matrices, la fórmula del adjunto de una matriz y ejemplos.
Antes de aprender qué es el adjunto de una matriz, debemos saber qué es una matriz. Una matriz (en plural matrices) es una tabla o matriz rectangular que contiene números, símbolos o expresiones organizados en filas y columnas.
Una matriz se representa generalmente por una letra mayúscula en negrita (por ejemplo, \(A, B, X\)) y los elementos de la matriz se representan por letras minúsculas con un subíndice doble (por ejemplo, \(a_{ij},\,b_{ij},\,x_{ij}\)). Por ejemplo: En la matriz \(A\), \(a_{23}\) es un elemento de la segunda fila y la tercera columna. A continuación se muestra una matriz \(3 × 3\) \(A\)
Matriz autoadjunta
Teorema H. Una matriz cuadrada A es invertible si y sólo si su determinante es distinto de cero, y su inversa se obtiene multiplicando el adjunto de A por (det A) -1. [Nota: Una matriz cuyo determinante es 0 se dice que es singular. [Nota: Una matriz cuyo determinante es 0 se dice que es singular; por lo tanto, una matriz es invertible si y sólo si es no singular].
donde n es el tamaño de la matriz cuadrada A. Si n = 2, entonces (det A) n-2 = (det A) 0 = 1-ya que det A ≠ 0-lo que implica Adj (Adj A) = A, como se desea. Sin embargo, si n > 2, entonces (det A) n-2 no será igual a 1 para cada valor distinto de cero de det A, por lo que Adj (Adj A) no será necesariamente igual a A. Sin embargo, esta prueba muestra que cualquiera que sea el tamaño de la matriz, Adj (Adj A) será igual a A si det A = 1.
Ejemplo 5: Consideremos el espacio vectorial C 2( a, b) de funciones que tienen una segunda derivada continua en el intervalo ( a, b) ⊂ R. Si f, g, y h son funciones en este espacio, entonces el siguiente determinante,
donde c = ( c 1, c 2, c 3) T. Un sistema cuadrado homogéneo-como éste-sólo tiene la solución trivial si y sólo si el determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero. Pero si c = 0 es la única solución de (**), entonces c 1 = c 2 = c 3 = 0 es la única solución de (*), y las funciones f, g y h son linealmente independientes. Por lo tanto,
Matriz hermitiana
En primer lugar, ten en cuenta que lo que aquí llamamos matriz adjunta a veces se denomina matriz adjunta. También puedes encontrarte con el término matriz adjunta clásica. Esta confusión se debe a que, en algunos contextos, el término adjunto puede significar la transpuesta conjugada de una matriz, que es algo totalmente distinto de lo que consideramos aquí. Mezclaremos libremente los términos adjunto y conjugado para que puedas acostumbrarte rápidamente a ambos.
El adjunto de la matriz A se suele denotar por adj(A). Si ya estás familiarizado con la noción de matriz cofactora, entonces te habrás dado cuenta de que adj(A) es, de hecho, la transpuesta de la matriz cofactora de A. Descubre más con la calculadora de matrices cofactoras de Omni.Adjugado de una matriz 2×2
Veamos cómo funciona la fórmula de la matriz adjunta explicada anteriormente en el caso más sencillo. Concretamente, la utilizaremos para hallar el adyugado de una matriz de 2×2. Considere la siguiente matriz:[abcd]\small \quad \bbegin{bmatrix}
No dejes que el caso de 2 x 2 te lleve a engaño: calcular matrices adjuntas a mano puede llevar mucho tiempo ⌛⌛ – especialmente si tenemos que tratar con matrices grandes. Afortunadamente, ¡nuestra calculadora de matrices adjuntas puede hacer todo este trabajo por ti! Estos son los pasos que debes seguir para utilizar la calculadora de matrices adjuntas de forma eficiente: