Calcular la matriz inversa por adjuntos

Matriz inversa rechner

El adjunto de una matriz es uno de los métodos más sencillos utilizados para calcular la inversa de una matriz. Matriz adjunta es otro término utilizado para referirse a la matriz adjunta en álgebra lineal. Una matriz adjunta es especialmente útil en aplicaciones en las que no se puede utilizar directamente una matriz inversa.

El adjunto de una matriz se obtiene tomando la transpuesta de los elementos cofactores de la matriz dada. En este artículo, vamos a aprender sobre el adjunto de una matriz, su definición, propiedades con ejemplos resueltos.

El adjunto de una matriz B es la transposición de la matriz cofactor de B. El adjunto de una matriz cuadrada B se denota por adj B. Sea B = [\(b_{ij}\)] una matriz cuadrada de orden n. Los tres pasos importantes para encontrar el adjunto de una matriz son:

El adjunto adj(B) de una matriz cuadrada B de orden n x n, puede definirse como el transpuesto de la matriz cofactora. Consideremos la matriz B de 2×2 con los elementos \(b_{11}, b_{12}, b_{21}, b_{22}\), y sus elementos cofactores son \(B_{11}, B_{12}, B_{21}, B_{22}\) respectivamente. A continuación, el adjunto de la fórmula de la matriz es la siguiente:

¿Cómo se halla la inversa de una matriz con un adjunto?

Una matriz cuadrada A es invertible si y sólo si su determinante es distinto de cero, y su inversa se obtiene multiplicando el adjunto de A por (det A) -1. [Nota: Una matriz cuyo determinante es 0 se dice que es singular; por lo tanto, una matriz es invertible si y sólo si es no singular].

¿Cómo puedo calcular la inversa de una matriz?

Sólo podemos hallar la inversa de una matriz para matrices cuadradas, cuyo número de filas y columnas es igual, como 2 × 2, 3 × 3, etc. En palabras simples, la matriz inversa se obtiene dividiendo el adjunto de la matriz dada por el determinante de la matriz dada.

  Ejercicios resueltos matriz inversa y adjunto

¿Cuál es la fórmula del adjunto del adjunto de una matriz?

El adjunto de una matriz B puede definirse como el producto de B por su adjunto dando lugar a una matriz diagonal cuyas entradas diagonales son el determinante det(B). B adj(B) = adj(B) B = det(B) I, donde I es una matriz identidad. Supongamos que C es otra matriz cuadrada entonces, adj(BC) = adj(C) adj(B)

Inversa de una matriz

He estado desarrollando un software de control en lenguaje C que funciona en tiempo real. El software implementa, entre otros, un observador discreto de espacio de estados del sistema controlado. Para la implementación del observador es necesario calcular la inversa de la matriz de 4×4 dimensiones. El cálculo de la matriz inversa tiene que hacerse cada 50 microsegundos y vale la pena decir que durante este período de tiempo también se harán otros cálculos que consumen bastante tiempo. Así que el cálculo de la matriz inversa tiene que consumir mucho menos de 50 microsegundos. También hay que decir que el DSP utilizado no tiene ALU con soporte de operaciones en coma flotante.

He estado buscando alguna forma eficiente de hacerlo. Una idea que tengo es preparar la fórmula general para el cálculo del determinante de la matriz 4×4 y la fórmula general para el cálculo de la matriz adjunta de la matriz 4×4 y luego calcular la matriz inversa de acuerdo con la fórmula dada a continuación.

Como entiendo el consenso entre los que estudian álgebra lineal numérica, el consejo es evitar el cálculo de matrices inversas innecesariamente. Por ejemplo, si la inversa de A aparece en su controlador sólo en expresiones como

Calculadora matricial

Teorema H. Una matriz cuadrada A es invertible si y sólo si su determinante es distinto de cero, y su inversa se obtiene multiplicando el adjunto de A por (det A) -1. [Nota: Una matriz cuyo determinante es 0 se dice que es singular. [Nota: Una matriz cuyo determinante es 0 se dice que es singular; por lo tanto, una matriz es invertible si y sólo si es no singular].

  Como saber la inversa por adjuntas

donde n es el tamaño de la matriz cuadrada A. Si n = 2, entonces (det A) n-2 = (det A) 0 = 1-ya que det A ≠ 0-lo que implica Adj (Adj A) = A, como se desea. Sin embargo, si n > 2, entonces (det A) n-2 no será igual a 1 para cada valor distinto de cero de det A, por lo que Adj (Adj A) no será necesariamente igual a A. Sin embargo, esta prueba muestra que cualquiera que sea el tamaño de la matriz, Adj (Adj A) será igual a A si det A = 1.

Ejemplo 5: Consideremos el espacio vectorial C 2( a, b) de funciones que tienen una segunda derivada continua en el intervalo ( a, b) ⊂ R. Si f, g, y h son funciones en este espacio, entonces el siguiente determinante,

donde c = ( c 1, c 2, c 3) T. Un sistema cuadrado homogéneo-como éste-sólo tiene la solución trivial si y sólo si el determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero. Pero si c = 0 es la única solución de (**), entonces c 1 = c 2 = c 3 = 0 es la única solución de (*), y las funciones f, g y h son linealmente independientes. Por tanto,

Método adjunto de la matriz inversa

Como matriz se denomina un sistema de elementos aij, que están dispuestos en un esquema rectangular de 2 dimensiones. El esquema de m filas y n columnas se denomina matriz (m, n) o matriz m x n. La posición de un elemento dentro de la matriz se caracteriza por dos subíndices. El primer índice es el número de fila y el segundo es el número de columna. La numeración comienza en la parte superior izquierda de la matriz y va de izquierda a derecha y de arriba abajo. Si para una matriz es n = m entonces la matriz se llama matriz cuadrada.

  Matriz inversa por matriz adjunta

La matriz reflejada en la diagonal principal se llama matriz transpuesta. Para una matriz A = (aij) la matriz transpuesta AT = (aji). La transpuesta de una matriz transpuesta es la propia matriz A = (AT)T.

aquí la suma debe extenderse sobre todas las permutaciones σ. Así, a partir de los elementos de A, se forman todos los productos posibles para cada n-elemento de forma que cada uno de los productos de cada fila y columna contenga exactamente un elemento. Estos productos se suman y la suma es el determinante de A. El signo de los sumandos es positivo para las permutaciones pares y negativo para las impares.

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