Como calcular la inversa de una matriz por adjuntos

Matriz inversa rechner

Como matriz se denomina un sistema de elementos aij, que están dispuestos en un esquema rectangular bidimensional. El esquema de m filas y n columnas se denomina matriz (m, n) o matriz m x n. La posición de un elemento dentro de la matriz se caracteriza por dos subíndices. El primer índice es el número de fila y el segundo es el número de columna. La numeración comienza en la parte superior izquierda de la matriz y va de izquierda a derecha y de arriba abajo. Si para una matriz es n = m entonces la matriz se llama matriz cuadrada.

La matriz reflejada en la diagonal principal se llama matriz transpuesta. Para una matriz A = (aij) la matriz transpuesta AT = (aji). La transpuesta de una matriz transpuesta es la propia matriz A = (AT)T.

aquí la suma debe extenderse sobre todas las permutaciones σ. Así, a partir de los elementos de A, se forman todos los productos posibles para cada n-elemento de forma que cada uno de los productos de cada fila y columna contenga exactamente un elemento. Estos productos se suman y la suma es el determinante de A. El signo de los sumandos es positivo para las permutaciones pares y negativo para las impares.

¿Cuál es la fórmula del adjunto del adjunto de una matriz?

El adjunto de una matriz B puede definirse como el producto de B por su adjunto dando lugar a una matriz diagonal cuyas entradas diagonales son el determinante det(B). B adj(B) = adj(B) B = det(B) I, donde I es una matriz identidad. Supongamos que C es otra matriz cuadrada entonces, adj(BC) = adj(C) adj(B)

¿Cuál es la fórmula del adjunto adjunto A?

adj (adj A) = |A|^n – 2 A | Preguntas de matemáticas.

  Calcular inversa de una matrix 4 x4 adjunta

¿Cómo se halla la inversa de una matriz de cuarto grado?

¿Cómo se halla la inversa de una matriz 4×4? La inversa de una matriz cuadrada se puede encontrar mediante la reducción de filas de la matriz aumentada, creada adjuntando una copia de la matriz identidad. Si la matriz puede reducirse a la identidad, entonces paralelamente la matriz identidad se transformará en la matriz inversa.

Inversa del producto de matrices

He estado desarrollando un software de control en lenguaje C que funciona en tiempo real. El software implementa, entre otros, un observador discreto de espacio de estados del sistema controlado. Para la implementación del observador es necesario calcular la inversa de la matriz de dimensiones 4×4. El cálculo de la matriz inversa tiene que hacerse cada 50 microsegundos y vale la pena decir que durante este período de tiempo también se harán otros cálculos que consumen bastante tiempo. Así que el cálculo de la matriz inversa tiene que consumir mucho menos de 50 microsegundos. También hay que decir que el DSP utilizado no tiene ALU con soporte de operaciones en coma flotante.

He estado buscando alguna forma eficiente de hacerlo. Una idea que tengo es preparar la fórmula general para el cálculo del determinante de la matriz 4×4 y la fórmula general para el cálculo de la matriz adjunta de la matriz 4×4 y luego calcular la matriz inversa de acuerdo con la fórmula dada a continuación.

Como entiendo el consenso entre los que estudian álgebra lineal numérica, el consejo es evitar el cálculo de matrices inversas innecesariamente. Por ejemplo, si la inversa de A aparece en su controlador sólo en expresiones como

  Calculo de la matriz inversa mediante la adjunta

Matriz de cofactores

En álgebra lineal, la matriz adjunta o adjunta clásica de una matriz cuadrada A es la transpuesta de su matriz cofactora y se denota por adj(A)[1][2]. También se conoce ocasionalmente como matriz adjunta,[3][4] o “adjunta”,[5] aunque este último término hoy en día normalmente se refiere a un concepto diferente, el operador adjunto que para una matriz es la transpuesta conjugada.

Para más detalle, supongamos que R es un anillo unital conmutativo y A es una matriz n × n con entradas de R. El (i, j)-minor de A, denotado Mij, es el determinante de la matriz (n – 1) × (n – 1) que resulta de borrar la fila i y la columna j de A. La matriz cofactora de A es la matriz n × n C cuya entrada (i, j) es el (i, j) cofactor de A, que es el (i, j)-minor multiplicado por un factor de signo:

El -1 de la segunda fila, tercera columna del adjugado se calculó como sigue. La entrada (2,3) del adjunto es el cofactor (3,2) de A. Este cofactor se calcula utilizando la submatriz obtenida al eliminar la tercera fila y la segunda columna de la matriz original A,

Método adjunto de la matriz inversa

Si #A# es una matriz invertible, entonces podemos escribir la solución de una ecuación de la forma #A\vec{x} = \vec{b}# en el vector desconocido #\vec{x}# directamente en términos de los determinantes de submatrices que se producen en la expansión de filas o columnas. Estas submatrices son las #((n-1)\times(n-1))#-matrices #A_{ij}# que se pueden obtener de #A# borrando la #i#-ésima fila y la #j#-ésima columna. Además, el siguiente concepto desempeña un papel fundamental.

  Inversa por adjuntas

Por #\vec{k}_1,\ldots ,\vec{k}_n# denotamos las columnas de #A#. Sea #\vec{b}# cualquier vector en #\mathbb{R}^n#. Por #A_j (\vec{b} )# indicamos la matriz que se puede obtener de #A# sustituyendo la columna #j#-ésima por #\vec{b}#. Entonces tenemos que \[ \det (A_j(\vec{k}_\ell))=\begin{casos}\det(A)&\text{si } \ell=j\\ 0&\text{otherwise}\end{cases}\]

1. Expandiendo el determinante \(\det (A_j(\vec{k}_\ell))\) con respecto a la #j#-ésima columna, nos encontramos con \[\begin{array}{rcl}\det(A_j(\vec{k}_\ell)) &=& \sum_{i=1}^n (-1)^{i+j}a_{i\ell}\det (A_{ij})\&&\phantom{xxx}\color{azul}{\text{\}la }j\text{- columna de {A_j(\vec{k}_\ell)\text{ es }\vec{k}_\ell=\cv{a_{1\ell}\vdots\a_{n\ell}}&&=& \sum_{i=1}^n \left((- 1)^{i+j}\det (A_{ij}) \right)\cdot a_{i\ell}\&&phantom{xxx}\color{azul}{\text{intercambiado el orden de los dos últimos factores}\&=&\text{el} (j,\ell)\text{-entrada de }\text{adj}(A)}, A\\\\&&\phantom{xxx}\color{blue}{(-1)^{i+j}\det (A_{ij})=\text{el }(j,i)\text{-entrada de }\text{adj}(A)} \end{array}]En el último paso,

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