Adjunto de una matriz
Este artículo ha sido escrito por Mario Banuelos, PhD. Mario Banuelos es Profesor Asistente de Matemáticas en la Universidad Estatal de California, Fresno. Con más de ocho años de experiencia docente, Mario está especializado en biología matemática, optimización, modelos estadísticos para la evolución del genoma y ciencia de datos. Mario es licenciado en Matemáticas por la Universidad Estatal de California, Fresno, y doctor en Matemáticas Aplicadas por la Universidad de California, Merced. Mario ha impartido clases en institutos y universidades.
¿Te cuesta resolver un problema de álgebra? Encontrar la inversa de una matriz es clave para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Además, las operaciones inversas permiten simplificar problemas difíciles en general. Por ejemplo, si un problema te pide que dividas por una fracción, puedes multiplicar más fácilmente por su recíproco. Es una operación inversa básica. Del mismo modo, como no hay operador de división para matrices, tienes que multiplicar por la matriz inversa. Hemos preparado una guía paso a paso para calcular la inversa de una matriz de 3×3 a mano, utilizando determinantes y reducción lineal de filas. Además, te enseñaremos a encontrar la inversa con una calculadora gráfica avanzada.
¿Puedes utilizar el determinante para hallar la inversa de una matriz de 3×3?
¿Cómo se halla la inversa de una matriz de 3×3? En primer lugar, hallamos el determinante de la matriz. Luego hallamos el adjunto de la matriz. La inversa de la matriz es el producto de 1 por el determinante por el adjunto de la matriz.
¿Cuál es el determinante de la transpuesta de la matriz inversa?
La transpuesta conjugada de una matriz es la transpuesta de la matriz con los elementos sustituidos por su conjugado complejo. Para que una matriz sea invertible, la condición necesaria y suficiente es que el determinante de A no sea cero; es decir, |A| = det(A) ≠ 0.
Determinante de una matriz
Antes de ver cómo hallar la inversa de una matriz de 3×3, recordemos lo que significa la inversa. La inversa de un número es un número que cuando se multiplica por el número dado da como resultado la identidad multiplicativa, 1. Del mismo modo, el producto de una matriz A y su inversa A-1 da la matriz identidad, I. es decir, AA-1 = A-1A = I. Veamos cómo hallar la inversa de una matriz 3×3.
La inversa de una matriz de 3×3, digamos A, es una matriz del mismo orden denotada por A-1 donde AA-1 = A-1A = I, donde I es la matriz identidad de orden 3×3. es decir, I = \(\left[\begin{array}{rr}1 & 0 & 0 \ 0&1&0 \\ 0 & 1&0 \end{array}\right]\). Por ejemplo, si A = \left[\begin{array}{rr}1 & 2 & -1 \\ 2&1&2 \ -1 & 2&1 \end{array}\right]\}, entonces A-1 = \left[\begin{array}{rr}3 / 16 & 1 / 4 & -5 / 16 \\} \} A-1 = A-1 = \left[\begin{array}{rr}3 / 16 & 1 / 4 & -5 / 16 \}.
-5 / 16 & 1 / 4 & 3 / 16 \end{array}\right]\). Uno puede fácilmente multiplicar estas matrices y verificar si AA-1 = A-1A = I. Vamos a ver cómo encontrar la inversa de una matriz de 3×3 en la próxima sección.
Antes de pasar a saber cómo hallar la inversa de una matriz 3×3, veamos cómo hallar el determinante y el adyacente de una matriz 3×3. Vamos a utilizar este mismo ejemplo (como en la sección anterior) en cada explicación.
Inversa de matriz 3×3
(opcional) ecuación de la forma método = nombre donde nombre es uno de los siguientes: ‘LU’, ‘Cholesky’, ‘subs’, ‘integer’, ‘univar’, ‘polynom’, ‘complex’, ‘rational’, ‘pseudo’, o ‘none’; método utilizado para factorizar la inversa de A
La función MatrixInverse(A), donde A es una matriz cuadrada no singular, devuelve la matriz inversa A-1. Si se reconoce que A es una matriz singular, se devuelve un mensaje de error. Si A no es cuadrada, devuelve la pseudoinversa de Moore-Penrose.
Si se incluye m en la secuencia de llamada, entonces se utiliza el método especificado para calcular la inversa (excepto para Matrices 1×1, 2×2 y 3×3 donde el cálculo de la inversa está codificado por eficiencia).
Los métodos LU y Cholesky utilizan el método LUDecomposition correspondiente en la Matriz de entrada (si no está ya prefactorizada) y luego utilizan la sustitución hacia delante y hacia atrás con una copia de la Matriz identidad como lado derecho.
Si el primer argumento en la secuencia de llamada es una lista, entonces los elementos de la lista se toman como los factores de la Matriz A, debido a alguna prefactorización. Estos factores tienen la forma de valores devueltos por LUDecomposition. Es decir, los elementos de la lista pueden ser:
Método adjunto de la matriz inversa
Siempre puedes comprobar tu respuesta multiplicando la matriz y su inversa para ver si obtienes la identidad 3 x 3. Esta fórmula general es cierta siempre que el determinante no sea cero. Basta con sustituir los valores de las variables de las letras en la fórmula general.
En primer lugar reducimos la matriz a su correspondiente matriz identidad utilizando las operaciones de fila. Una vez obtenida la identidad utilizamos las mismas operaciones sobre una matriz identidad del mismo orden. La matriz obtenida como resultado es la inversa requerida.
Una matriz es una matriz rectangular de mn números dispuestos en forma de m filas y n columnas. Se dice que una matriz de este tipo tiene un orden m veces n. Cuando m=n las llamamos matrices cuadradas. Las entradas de una matriz vienen dadas por a_{ij} donde ij representa la posición de la entrada en la ordenación.Objetos como los números alcanzan ciertas propiedades especiales cuando se definen con una operación correspondiente. Una de ellas es el concepto de inverso. Por ejemplo, consideremos el conjunto de todos los números enteros,{eq}\mathcal{Z} {/eq} definido con la operación suma sobre el conjunto. Vemos que {eq}0 {/eq} cuando se añade a cualquier número da ese mismo número. Esta es una característica única para {eq}0 {/eq} en este conjunto. Un elemento de este tipo en un conjunto se llama identidad del conjunto con la operación dada, en este caso la suma. Ahora, para cada número del conjunto encontramos un elemento tal que la suma de estos elementos es siempre {eq}0 {/eq}. También podemos observar que este elemento está determinado unívocamente. Cada número de este par se llama inverso del otro. Por ejemplo, consideremos {eq}3 {/eq} en el conjunto dado. Vemos que el número {eq}-3 {/eq} satisface la propiedad antes mencionada, ya que su suma es siempre {eq}0 {/eq}. Por lo tanto {eq}-3 {/eq} es el inverso de {eq}3 {/eq} y viceversa.