Adjunto de una matriz 3×3
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En esta sección aprenderemos qué es una matriz invertible. Una matriz invertible es una matriz cuadrada que tiene inversa. Decimos que una matriz cuadrada es invertible si y sólo si el determinante no es igual a cero. En otras palabras, una matriz de 2 x 2 sólo es invertible si el determinante de la matriz no es 0. Si el determinante es 0, entonces la matriz es invertible. Si el determinante es 0, entonces la matriz no es invertible y no tiene inversa.Matriz invertible 2×2
Cómo hallar la matriz original a partir de la adyacente
En este explicador, vamos a aprender cómo encontrar la inversa de 3×3 matrices utilizando el método adjunto.Comencemos por recordar cómo definir la inversa de una matriz de 2×2.Definición: Inversa de una matriz de 2 × 2Sea una matriz de 2×2. La inversa de (denotada por
Además, es posible obtener una fórmula exacta para la inversa, que es la siguiente.Fórmula: Inversa de una matriz de 2 × 2Déjese = tal que det()≠0, donde det()=- es el determinante de . Entonces la
Como veremos en este artículo, existe una fórmula para la inversa de una matriz que generaliza el caso de 2 × 2. En particular, para hallar el determinante y la inversa de una matriz de 2 × 2 hay que aplicar la fórmula de la inversa. En concreto, hallar el determinante y los pasos que hay que dar para ello son un componente
esencial para hallar la inversa de una matriz utilizando el método adjunto.Antes de explicar adecuadamente el método adjunto para hallar la inversa, necesitamos definir las matrices cofactoras.Definición: Matriz cofactoraLa matriz cofactora de una matriz cuadrada =() se define por
Adjunto de una matriz 2×2
El adjunto de una matriz es uno de los métodos más sencillos para calcular la inversa de una matriz. Matriz adjunta es otro término utilizado para referirse a la matriz adjunta en álgebra lineal. Una matriz adjunta es especialmente útil en aplicaciones en las que no se puede utilizar directamente una matriz inversa.
El adjunto de una matriz se obtiene tomando la transpuesta de los elementos cofactores de la matriz dada. En este artículo, vamos a aprender sobre el adjunto de una matriz, su definición, propiedades con ejemplos resueltos.
El adjunto de una matriz B es la transposición de la matriz cofactor de B. El adjunto de una matriz cuadrada B se denota por adj B. Sea B = [\(b_{ij}\)] una matriz cuadrada de orden n. Los tres pasos importantes para encontrar el adjunto de una matriz son:
El adjunto adj(B) de una matriz cuadrada B de orden n x n, puede definirse como el transpuesto de la matriz cofactora. Consideremos la matriz B de 2×2 con los elementos \(b_{11}, b_{12}, b_{21}, b_{22}\), y sus elementos cofactores son \(B_{11}, B_{12}, B_{21}, B_{22}\) respectivamente. A continuación, el adjunto de la fórmula de la matriz es la siguiente:
Calculadora de matrices adjuntas
Dado que todo operador lineal viene dado por la multiplicación a la izquierda por alguna matriz cuadrada, hallar los valores y vectores propios de un operador lineal equivale a hallar los valores y vectores propios de la matriz cuadrada asociada; ésta es la terminología que se seguirá. Además, dado que los valores propios y los vectores propios sólo tienen sentido para matrices cuadradas, a lo largo de esta sección se supone que todas las matrices son cuadradas.
Esta forma final de la ecuación deja claro que x es la solución de un sistema cuadrado homogéneo. Si se desean soluciones distintas de cero, entonces el determinante de la matriz de coeficientes -que en este caso es A – λ I- debe ser cero; si no, entonces el sistema posee sólo la solución trivial x = 0. Puesto que los vectores propios son, por definición, distintos de cero, para que x sea un vector propio de una matriz A, λ debe elegirse de modo que
Cuando se escribe el determinante de A – λ I, la expresión resultante es un polinomio mónico en λ. [Un polinomio mónico es aquel en el que el coeficiente del término principal (el de mayor grado) es 1]. Se denomina polinomio característico de A y será de grado n si A es n x n. Los ceros del polinomio característico de A -es decir, las soluciones de la ecuación característica, det( A – λ I) = 0- son los valores propios de A.