Propiedades del adjunto de una matriz
El adjunto de una matriz es el transpuesto de la matriz de sus cofactores. En primer lugar, determinamos el cofactor de cada elemento de la matriz. A continuación, formamos la matriz de cofactores con ellos. Por último, tomamos el transpuesto de la matriz cofactora para obtener la matriz adjunta.
La matriz adjunta se utiliza para determinar la inversa de una matriz dada. El producto de la matriz adjunta con una matriz dada da la matriz cuyas entradas diagonales son el determinante de la matriz dada y 0 en el resto.
Una matriz es una matriz rectangular de {eq}mn {/eq} números dispuestos en forma de {eq}m {/eq} filas y {eq}n {/eq} columnas. Se dice que una matriz de este tipo tiene un orden {eq}m\ veces n {/eq}. Cuando {eq}m=n {/eq} las llamamos matrices cuadradas. Las entradas de una matriz vienen dadas por {eq}a_{ij} {/eq} donde {eq}ij {/eq} representa la posición de la entrada en el arreglo.La matriz adjunta o matriz adjoint es la matriz formada transponiendo las filas y columnas de la matriz de cofactores. La palabra adjunto se utiliza ahora menos en nomenclatura, ya que también puede significar el operador adjunto. La matriz adjunta para una matriz {eq}A {/eq} dada se denota como {eq}Adj(A) {/eq}.
Prueba de la matriz adjunta
Teorema H. Una matriz cuadrada A es invertible si y sólo si su determinante es distinto de cero, y su inversa se obtiene multiplicando la adyacente de A por (det A) -1. [Nota: Una matriz cuyo determinante es 0 se dice singular; por tanto, es no singular]. [Nota: Una matriz cuyo determinante es 0 se dice que es singular; por lo tanto, una matriz es invertible si y sólo si es no singular].
donde n es el tamaño de la matriz cuadrada A. Si n = 2, entonces (det A) n-2 = (det A) 0 = 1-ya que det A ≠ 0-lo que implica Adj (Adj A) = A, como se desea. Sin embargo, si n > 2, entonces (det A) n-2 no será igual a 1 para cada valor distinto de cero de det A, por lo que Adj (Adj A) no será necesariamente igual a A. Sin embargo, esta prueba muestra que cualquiera que sea el tamaño de la matriz, Adj (Adj A) será igual a A si det A = 1.
Ejemplo 5: Consideremos el espacio vectorial C 2( a, b) de funciones que tienen una segunda derivada continua en el intervalo ( a, b) ⊂ R. Si f, g, y h son funciones en este espacio, entonces el siguiente determinante,
donde c = ( c 1, c 2, c 3) T. Un sistema cuadrado homogéneo-como éste-sólo tiene la solución trivial si y sólo si el determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero. Pero si c = 0 es la única solución de (**), entonces c 1 = c 2 = c 3 = 0 es la única solución de (*), y las funciones f, g y h son linealmente independientes. Por tanto,
Matriz de cofactores
Álgebra linealAdemás de (y como parte de) su soporte para matrices multidimensionales, Julia proporciona implementaciones nativas de muchas operaciones de álgebra lineal comunes y útiles que se pueden cargar con el uso de LinearAlgebra. Las operaciones básicas, como tr, det, y inv están soportadas:julia> A = [1 2 3; 4 1 6; 7 8 1].
-0.166924+0.278207im -0.166924-0.278207im Además, Julia proporciona muchas factorizaciones que se pueden utilizar para acelerar problemas como la resolución lineal o la exponenciación de matrices mediante la pre-factorización de una matriz en una forma más adecuada (por razones de rendimiento o memoria) para el problema. Consulte la documentación sobre factorizar para obtener más información. Como ejemplo:julia> A = [1.5 2 -4; 3 -1 -6; -10 2.3 4]
3Aquí, Julia fue capaz de detectar que B es de hecho simétrica, y utilizó una factorización más adecuada. A menudo es posible escribir código más eficiente para una matriz que se sabe que tiene ciertas propiedades, por ejemplo, es simétrica, o tridiagonal. Julia proporciona algunos tipos especiales para que pueda “etiquetar” matrices que tienen estas propiedades. Por ejemplo:julia> B = [1.5 2 -4; 2 -1 -3; -4 -3 5]
Matriz autoadjunta
El adjunto de una matriz es uno de los métodos más sencillos para calcular la inversa de una matriz. Matriz adjunta es otro término utilizado para referirse a la matriz adjunta en álgebra lineal. Una matriz adjunta es especialmente útil en aplicaciones en las que no se puede utilizar directamente una matriz inversa.
El adjunto de una matriz se obtiene tomando la transpuesta de los elementos cofactores de la matriz dada. En este artículo, vamos a aprender sobre el adjunto de una matriz, su definición, propiedades con ejemplos resueltos.
El adjunto de una matriz B es la transposición de la matriz cofactor de B. El adjunto de una matriz cuadrada B se denota por adj B. Sea B = [\(b_{ij}\)] una matriz cuadrada de orden n. Los tres pasos importantes para encontrar el adjunto de una matriz son:
El adjunto adj(B) de una matriz cuadrada B de orden n x n, puede definirse como el transpuesto de la matriz cofactora. Consideremos la matriz B de 2×2 con los elementos \(b_{11}, b_{12}, b_{21}, b_{22}\), y sus elementos cofactores son \(B_{11}, B_{12}, B_{21}, B_{22}\) respectivamente. A continuación, el adjunto de la fórmula de la matriz es la siguiente: