Determinante de la matriz adjunta
El adjunto de una matriz es uno de los métodos más sencillos utilizados para calcular la inversa de una matriz. Matriz adjunta es otro término utilizado para referirse a la matriz adjunta en álgebra lineal. Una matriz adjunta es especialmente útil en aplicaciones en las que no se puede utilizar directamente una matriz inversa.
El adjunto de una matriz se obtiene tomando la transpuesta de los elementos cofactores de la matriz dada. En este artículo, vamos a aprender sobre el adjunto de una matriz, su definición, propiedades con ejemplos resueltos.
El adjunto de una matriz B es la transposición de la matriz cofactor de B. El adjunto de una matriz cuadrada B se denota por adj B. Sea B = [\(b_{ij}\)] una matriz cuadrada de orden n. Los tres pasos importantes para encontrar el adjunto de una matriz son:
El adjunto adj(B) de una matriz cuadrada B de orden n x n, puede definirse como el transpuesto de la matriz cofactora. Consideremos la matriz B de 2×2 con los elementos \(b_{11}, b_{12}, b_{21}, b_{22}\), y sus elementos cofactores son \(B_{11}, B_{12}, B_{21}, B_{22}\) respectivamente. A continuación, el adjunto de la fórmula de la matriz es la siguiente:
¿Cuál es el adjunto de una matriz de 3×3?
Adjunto de una matriz 3×3
Ya hemos encontrado que su matriz cofactora es C = ⎡⎢⎣-82-5-5-7117-410⎤⎥⎦ [ – 8 2 – 5 – 5 – 7 1 17 – 4 10 ] . adj B = CT = ⎡⎢⎣-8-5172-7-4-5110⎤⎥⎦ [ – 8 – 5 17 2 – 7 – 4 – 5 1 10 ] . El adjunto de una matriz sólo puede hallarse si conocemos el menor, el cofactor y la transpuesta de la matriz cofactora.
¿Cuál es el adj de una matriz de 2×2?
Adjunto de una matriz de 2×2
Para una matriz A = ⎡⎢⎣abcd⎤⎥⎦ [ a b c d ] , el adjunto es adj(A) = ⎡⎢⎣d-b-ca⎤⎥⎦ [ d – b – c a ] . es decir, para hallar el adjunto de una matriz, Intercambiamos los elementos de la diagonal principal.
Matriz de cofactores
ConclusiónLa transposición de una matriz compuesta de la matriz cuadrada se denomina adjunto de la matriz. El adjunto de la matriz A se denota por adj A, y adicionalmente se puede denominar matriz adjunta o matriz adjunta. El adjunto de una matriz se genera obteniendo la transpuesta de los miembros cofactores de la matriz. Es una de las mejores formas de calcular la inversa de una matriz y la herramienta más potente de la aritmética. Con el adjunto de una matriz, sus propiedades y ejemplos hemos aprendido que la mayoría de las cuestiones vitales pueden resolverse con matrices. Tenemos ecuaciones lineales y diferentes funciones matemáticas como el cálculo, la óptica y la física que se realizan con estos instrumentos.Tiene una buena variedad de aplicaciones dentro del mundo que tienen diodos semiconductores, disfrutando así de un papel importante en la aritmética.
Respuesta: Un número obtenido eliminando la fila y la columna de un elemento específico dentro de la forma de un cuadrado o rectángulo puede denominarse cofactor. El cofactor va precedido de un signo negativo o positivo en función de la posición del elemento.
Calculadora de matrices adjuntas
Teorema H. Una matriz cuadrada A es invertible si y sólo si su determinante es distinto de cero, y su inversa se obtiene multiplicando la adyacente de A por (det A) -1. [Nota: Una matriz cuyo determinante es 0 se dice singular; por tanto, es no singular]. [Nota: Una matriz cuyo determinante es 0 se dice que es singular; por lo tanto, una matriz es invertible si y sólo si es no singular].
donde n es el tamaño de la matriz cuadrada A. Si n = 2, entonces (det A) n-2 = (det A) 0 = 1-ya que det A ≠ 0-lo que implica Adj (Adj A) = A, como se desea. Sin embargo, si n > 2, entonces (det A) n-2 no será igual a 1 para cada valor distinto de cero de det A, por lo que Adj (Adj A) no será necesariamente igual a A. Sin embargo, esta prueba muestra que cualquiera que sea el tamaño de la matriz, Adj (Adj A) será igual a A si det A = 1.
Ejemplo 5: Consideremos el espacio vectorial C 2( a, b) de funciones que tienen una segunda derivada continua en el intervalo ( a, b) ⊂ R. Si f, g, y h son funciones en este espacio, entonces el siguiente determinante,
Las funciones f, g y h son linealmente independientes si los únicos escalares c 1, c 2 y c 3 que satisfacen la ecuación son c 1 = c 2 = c 3 = 0. Una forma de obtener tres ecuaciones para resolver las tres incógnitas c 1, c 2 y c 3 es diferenciar (*) y luego volver a diferenciarla. El resultado es el sistema
Método adjunto de la matriz inversa
Antes de pasar a ver cómo hallar la inversa de una matriz de 2×2, recordemos el significado de inversa. En general, la inversa de un número real es un número que al multiplicarse por el número dado da como resultado la identidad multiplicativa, que es 1. En matrices, la inversa de una matriz A (que se denota por A-1) es una matriz que al multiplicarse por A da la matriz identidad, I. es decir, AA-1 = A-1A = I. Pero, ¿cómo hallar la inversa de una matriz de 2×2?
La inversa de una matriz de 2×2, digamos A, es una matriz del mismo orden denotada por A-1 tal que AA-1 = A-1A = I, donde I es la matriz identidad de orden 2×2. es decir, I = \(\left[\begin{array}{rr}1 & 0 \\\ 0 & 1 \end{array}\right]\). En general, la inversa de una matriz A se encuentra utilizando la fórmula (adj A)/(det A), donde “adj A” es el “adjunto de A” y “det A” es el “determinante de A”. Pero en el caso de una matriz de 2×2 A = \(\left[\begin{array}{rr}a & b \\\ c & d \end{array}\right]\), podemos encontrar la inversa directamente utilizando la siguiente fórmula.
La fórmula de la inversa de una matriz de 2×2 utiliza el determinante de la matriz. Sabemos que el determinante de una matriz de 2×2 A = \(\left[\begin{array}{rr}a & b \\\\ c & d \end{array}\right]\) es det(A) = ad – bc. es decir, para encontrar el determinante, simplemente multiplicamos los elementos de cada una de las dos diagonales y restamos (el producto de los elementos de la diagonal principal es el minuendo).