Prueba de la fórmula inversa de matrices 2×2
En álgebra lineal, el adjunto o adyacente clásico de una matriz cuadrada A es el transpuesto de su matriz cofactora y se denota por adj(A).[1][2] También se conoce ocasionalmente como matriz adjunta,[3][4] o “adjunto”,[5] aunque este último término hoy en día normalmente se refiere a un concepto diferente, el operador adjunto que para una matriz es el transpuesto conjugado.
Para más detalle, supongamos que R es un anillo unital conmutativo y A es una matriz n × n con entradas de R. El (i, j)-minor de A, denotado Mij, es el determinante de la matriz (n – 1) × (n – 1) que resulta de borrar la fila i y la columna j de A. La matriz cofactora de A es la matriz n × n C cuya entrada (i, j) es el (i, j) cofactor de A, que es el (i, j)-minor multiplicado por un factor de signo:
El -1 de la segunda fila, tercera columna del adjugado se calculó como sigue. La entrada (2,3) del adjunto es el cofactor (3,2) de A. Este cofactor se calcula utilizando la submatriz obtenida al eliminar la tercera fila y la segunda columna de la matriz original A,
¿Cómo hallar la inversa de una matriz de 2×2 utilizando el determinante?
Para hallar la inversa de una matriz de 2×2: intercambia las posiciones de a y d, pon negativos delante de b y c, y divide todo por el determinante (ad-bc).
¿Cuál es la fórmula del adjunto de una matriz de 2×2?
Adjunto de una matriz de 2×2
Para una matriz A = ⎡⎢⎣abcd⎤⎥⎦ [ a b c d ] , el adjunto es adj(A) = ⎡⎢⎣d-b-ca⎤⎥⎦ [ d – b – c a ] . es decir, para hallar el adjunto de una matriz, Intercambia los elementos de la diagonal principal. Sólo cambia (pero NO intercambies) los signos de los elementos de la otra diagonal.
Matriz adjunta
EDICIÓN (8/14/2020): Un par de personas han sugerido que esta respuesta debería ir acompañada de una advertencia — se trata de una aproximación bastante rebuscada a una pregunta elemental, motivada por el hecho de que conozco los intereses del OP. Algunas de las otras respuestas de abajo son probablemente mejores si sólo quieres invertir algunas matrices :). También he corregido un par de errores tipográficos menores.
Si quieres derivar la fórmula que has escrito por “puro pensamiento” basta con mirar cualquiera de estos casos si recuerdas la forma general de la inversa; o simplemente puedes juntarlos todos para dar una derivación rigurosa.
Al igual que el determinante, el adjunto es multiplicativo. Categóricamente, la razón por la que el determinante es multiplicativo es que proviene de un functor (la potencia exterior), así que uno podría esperar que el adjunto también provenga de un functor, y de hecho lo hace (¡el mismo functor!).
Hay muchas respuestas buenas aquí, pero pueden ser inaccesibles para los estudiantes que se encuentran por primera vez con este material, así que aquí está mi intuición para la inversa de 2×2 a un nivel de pregrado (tal vez incluso de secundaria):
Adjunto de una matriz 2×2 pdf
Antes de pasar a ver cómo hallar la inversa de una matriz de 2×2, recordemos el significado de inversa. En general, la inversa de un número real es un número que cuando se multiplica por el número dado resulta en la identidad multiplicativa, que es 1. En matrices, la inversa de una matriz A (que se denota por A-1) es una matriz que cuando se multiplica por A da la matriz identidad, I. es decir, AA-1 = A-1A = I. Pero, ¿cómo encontrar la inversa de una matriz de 2×2?
La inversa de una matriz de 2×2, digamos A, es una matriz del mismo orden denotada por A-1 tal que AA-1 = A-1A = I, donde I es la matriz identidad de orden 2×2. es decir, I = \(\left[\begin{array}{rr}1 & 0 \\\ 0 & 1 \end{array}\right]\). En general, la inversa de una matriz A se encuentra utilizando la fórmula (adj A)/(det A), donde “adj A” es el “adjunto de A” y “det A” es el “determinante de A”. Pero en el caso de una matriz de 2×2 A = \(\left[\begin{array}{rr}a & b \\\ c & d \end{array}\right]\), podemos encontrar la inversa directamente utilizando la siguiente fórmula.
La fórmula de la inversa de una matriz de 2×2 utiliza el determinante de la matriz. Sabemos que el determinante de una matriz de 2×2 A = \(\left[\begin{array}{rr}a & b \\\\ c & d \end{array}\right]\) es det(A) = ad – bc. es decir, para encontrar el determinante, simplemente multiplicamos los elementos de cada una de las dos diagonales y restamos (el producto de los elementos de la diagonal principal es el minuendo).
Determinante matriz 2×2
Dada una matriz cuadrada, hallar la adyacente y la inversa de la matriz. Para ello, te recomendamos que consultes la tabla siguiente. Determinante de una matrizAdjunta (o Adjugada) de una matriz es la matriz obtenida tomando la transpuesta de la matriz cofactora de una matriz cuadrada dada se llama su matriz Adjunta o Adjugada. La Adjunta de cualquier matriz cuadrada ‘A’ (digamos) se representa como Adj(A). Ejemplo: El siguiente ejemplo y su explicación se han tomado de aquí.
c) Coloque el cofactor en adj[j][i]¿Cómo encontrar inversa? Inversa de una matriz sólo existe si la matriz es no singular es decir, determinante no debe ser 0. Usando determinante y adjunto, podemos encontrar fácilmente la inversa de una matriz cuadrada utilizando la siguiente fórmula, Si det(A) != 0
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