Matriz de cofactores
Si #A# es una matriz invertible, entonces podemos escribir la solución de una ecuación de la forma #A\vec{x} = \vec{b}# en el vector desconocido #\vec{x}# directamente en términos de los determinantes de submatrices que se producen en la expansión de filas o columnas. Estas submatrices son las #((n-1)\times(n-1))#-matrices #A_{ij}# que se pueden obtener de #A# borrando la #i#-ésima fila y la #j#-ésima columna. Además, el siguiente concepto desempeña un papel fundamental.
Por #\vec{k}_1,\ldots ,\vec{k}_n# denotamos las columnas de #A#. Sea #\vec{b}# cualquier vector en #\mathbb{R}^n#. Por #A_j (\vec{b} )# indicamos la matriz que se puede obtener de #A# sustituyendo la columna #j#-ésima por #\vec{b}#. Entonces tenemos que \[ \det (A_j(\vec{k}_\ell))=\begin{casos}\det(A)&\text{si } \ell=j\\ 0&\text{otherwise}\end{cases}\]
1. Expandiendo el determinante \(\det (A_j(\vec{k}_\ell))\) con respecto a la #j#-ésima columna, nos encontramos con \[\begin{array}{rcl}\det(A_j(\vec{k}_\ell)) &=& \sum_{i=1}^n (-1)^{i+j}a_{i\ell}\det (A_{ij})\&&\phantom{xxx}\color{azul}{\text{\}la }j\text{- de A_j(\vec{k}_\ell)\text{ es }\vec{k}_\ell=\cv{a_{1\ell}\vdots\a_{n\ell}}&&=& \sum_{i=1}^n \left((- 1)^{i+j}\det (A_{ij}) \right)\cdot a_{i\ell}\&&phantom{xxx}\color{azul}{\text{intercambiado el orden de los dos últimos factores}\&=&\text{el} (j,\ell)\text{-entrada de }\text{adj}(A)}, A\\\\&&\phantom{xxx}\color{blue}{(-1)^{i+j}\det (A_{ij})=\text{el }(j,i)\text{-entrada de }\text{adj}(A)} \end{array}]En el último paso, utilizamos el de
¿Cómo se halla la inversa de una matriz con variables?
Para hallar la inversa de una matriz de 2×2: intercambia las posiciones de a y d, pon negativos delante de b y c, y divide todo por el determinante (ad-bc).
¿Cuál es la fórmula para hallar una matriz a partir de su adyacente?
Si puedes utilizar las dos fórmulas siguientes (no muy conocidas), los cálculos son fáciles: det(adj(A))=detAn-1. adj(adj(A))=detAn-2⋅A.
Inversa de una matriz
El adjunto de una matriz es uno de los métodos más sencillos para calcular la inversa de una matriz. Matriz adjunta es otro término utilizado para referirse a la matriz adjunta en álgebra lineal. Una matriz adjunta es especialmente útil en aplicaciones en las que no se puede utilizar directamente una matriz inversa.
El adjunto de una matriz se obtiene tomando la transpuesta de los elementos cofactores de la matriz dada. En este artículo, vamos a aprender sobre el adjunto de una matriz, su definición, propiedades con ejemplos resueltos.
El adjunto de una matriz B es la transposición de la matriz cofactor de B. El adjunto de una matriz cuadrada B se denota por adj B. Sea B = [\(b_{ij}\)] una matriz cuadrada de orden n. Los tres pasos importantes para encontrar el adjunto de una matriz son:
El adjunto adj(B) de una matriz cuadrada B de orden n x n, puede definirse como el transpuesto de la matriz cofactora. Consideremos la matriz B de 2×2 con los elementos \(b_{11}, b_{12}, b_{21}, b_{22}\), y sus elementos cofactores son \(B_{11}, B_{12}, B_{21}, B_{22}\) respectivamente. A continuación, el adjunto de la fórmula de la matriz es la siguiente:
Método adjunto de la matriz inversa
He estado desarrollando un software de control en lenguaje C que funciona en tiempo real. El software implementa, entre otros, un observador discreto de espacio de estados del sistema controlado. Para la implementación del observador es necesario calcular la inversa de la matriz de 4×4 dimensiones. El cálculo de la matriz inversa tiene que hacerse cada 50 microsegundos y vale la pena decir que durante este período de tiempo también se harán otros cálculos que consumen bastante tiempo. Así que el cálculo de la matriz inversa tiene que consumir mucho menos de 50 microsegundos. También hay que decir que el DSP utilizado no tiene ALU con soporte de operaciones en coma flotante.
He estado buscando alguna forma eficiente de hacerlo. Una idea que tengo es preparar la fórmula general para el cálculo del determinante de la matriz 4×4 y la fórmula general para el cálculo de la matriz adjunta de la matriz 4×4 y luego calcular la matriz inversa de acuerdo con la fórmula dada a continuación.
Como entiendo el consenso entre los que estudian álgebra lineal numérica, el consejo es evitar el cálculo de matrices inversas innecesariamente. Por ejemplo, si la inversa de A aparece en su controlador sólo en expresiones como
Calculadora matricial
Como matriz se denomina un sistema de elementos aij, que están dispuestos en un esquema rectangular de 2 dimensiones. El esquema de m filas y n columnas se denomina matriz (m, n) o matriz m x n. La posición de un elemento dentro de la matriz se caracteriza por dos subíndices. El primer índice es el número de fila y el segundo es el número de columna. La numeración comienza en la parte superior izquierda de la matriz y va de izquierda a derecha y de arriba abajo. Si para una matriz es n = m entonces la matriz se llama matriz cuadrada.
La matriz reflejada en la diagonal principal se llama matriz transpuesta. Para una matriz A = (aij) la matriz transpuesta AT = (aji). La transpuesta de una matriz transpuesta es la propia matriz A = (AT)T.
aquí la suma debe extenderse sobre todas las permutaciones σ. Así, a partir de los elementos de A, se forman todos los productos posibles para cada n-elemento de forma que cada uno de los productos de cada fila y columna contenga exactamente un elemento. Estos productos se suman y la suma es el determinante de A. El signo de los sumandos es positivo para las permutaciones pares y negativo para las impares.