Matriz adjunta
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donde In denota la matriz identidad n-por-n y la multiplicación utilizada es la multiplicación matricial ordinaria.[1] Si este es el caso, entonces la matriz B está determinada unívocamente por A, y se llama la inversa (multiplicativa) de A, denotada por A-1. La inversión de matrices es el proceso de encontrar la matriz B que satisface la ecuación anterior para una matriz invertible A dada.
Una matriz cuadrada que no es invertible se denomina singular o degenerada. Una matriz cuadrada con entradas en un campo es singular si y sólo si su determinante es cero. Las matrices singulares son raras en el sentido de que si las entradas de una matriz cuadrada se seleccionan al azar de cualquier región acotada de la recta numérica o del plano complejo, la probabilidad de que la matriz sea singular es 0, es decir, “casi nunca” será singular. Las matrices no cuadradas (matrices de m por n para las que m ≠ n) no tienen inversa. Sin embargo, en algunos casos una matriz de este tipo puede tener una inversa a la izquierda o a la derecha. Si A es m por n y el rango de A es igual a n (n ≤ m), entonces A tiene una inversa izquierda, una matriz B de n por m tal que BA = In. Si A tiene rango m (m ≤ n), entonces tiene una inversa derecha, una matriz B de n por m tal que AB = Im.
¿Cuál es la diferencia entre el adjunto y la inversa de una matriz?
El adjunto o adyacente de una matriz es el transpuesto de la matriz cofactora, mientras que la matriz inversa es una matriz que da la matriz identidad cuando se multiplican entre sí. La matriz adyugada se puede utilizar para calcular la matriz inversa y es uno de los métodos comunes para encontrar manualmente las inversas.
¿Cuál es el inconveniente de hallar la inversa por el método adjunto?
Explicación: El principal inconveniente es que necesita muchos cálculos y por lo tanto es largo, por lo que se desarrollan nuevos métodos más rápidos para eliminar este inconveniente.
¿Cuáles son las distintas formas de obtener la inversa de una matriz?
puede invertirse utilizando métodos como la eliminación de Gauss-Jordan, la eliminación de Gauss o la descomposición LU.
Inversa de una matriz
Esta página explica cómo resolver sistemas lineales, calcular varias descomposiciones como LU, QR, SVD, eigendecompositions… Después de leer esta página, no te pierdas nuestro catálogo de descomposiciones de matrices densas.
La solución: Puedes elegir entre varias descomposiciones, dependiendo de las propiedades de tu matriz A, y dependiendo de si favoreces la velocidad o la precisión. Sin embargo, vamos a empezar con un ejemplo que funciona en todos los casos, y es un buen compromiso:
Aquí, ColPivHouseholderQR es una descomposición QR con pivoteo de columna. Es un buen compromiso para este tutorial, ya que funciona para todas las matrices a la vez que es bastante rápido. Aquí tienes una tabla con otras descomposiciones entre las que puedes elegir, dependiendo de tu matriz, del problema que intentes resolver y del compromiso que quieras alcanzar:
Si sabes más sobre las propiedades de tu matriz, puedes utilizar la tabla anterior para seleccionar el mejor método. Por ejemplo, una buena opción para resolver sistemas lineales con una matriz no simétrica de rango completo es PartialPivLU. Si sabes que tu matriz también es simétrica y definida positiva, la tabla anterior dice que una muy buena opción es la descomposición LLT o LDLT. He aquí un ejemplo, que también demuestra que es posible utilizar una matriz general (no un vector) como lado derecho:
Calculadora de matrices adjuntas
Después de unas cuantas lecciones en las que hemos mencionado repetidamente que estamos cubriendo los fundamentos necesarios para luego aprender a resolver sistemas de ecuaciones lineales, ha llegado el momento de que nuestra lección se centre en la metodología completa a seguir para encontrar las soluciones de dichos sistemas.
Eliminación gaussiana es el nombre del método que utilizamos para realizar los tres tipos de operaciones con filas de matrices en una matriz aumentada procedente de un sistema lineal de ecuaciones con el fin de encontrar las soluciones de dicho sistema. Esta técnica también se denomina reducción de filas y consta de dos etapas: Eliminación hacia delante y sustitución hacia atrás.
Estas dos etapas del método de eliminación de Gauss se diferencian no por las operaciones que se pueden utilizar a través de ellas, sino por el resultado que producen. La etapa de eliminación hacia delante se refiere a la reducción de filas necesaria para simplificar la matriz en cuestión a su forma escalonada. Dicha etapa tiene por objeto demostrar si el sistema de ecuaciones representado en la matriz tiene una única solución posible, infinitas soluciones o simplemente ninguna solución. Si se encuentra que el sistema no tiene solución, entonces no hay razón para continuar reduciendo la matriz a través de la siguiente etapa.
Reglas inversas de la multiplicación de matrices
Este artículo ha sido escrito por Mario Banuelos, PhD. Mario Banuelos es Profesor Asistente de Matemáticas en la Universidad Estatal de California, Fresno. Con más de ocho años de experiencia docente, Mario está especializado en biología matemática, optimización, modelos estadísticos para la evolución del genoma y ciencia de datos. Mario es licenciado en Matemáticas por la Universidad Estatal de California, Fresno, y doctor en Matemáticas Aplicadas por la Universidad de California, Merced. Mario ha impartido clases en institutos y universidades.
¿Te cuesta resolver un problema de álgebra? Encontrar la inversa de una matriz es clave para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Además, las operaciones inversas permiten simplificar problemas difíciles en general. Por ejemplo, si un problema te pide que dividas por una fracción, puedes multiplicar más fácilmente por su recíproco. Es una operación inversa básica. Del mismo modo, como no hay operador de división para matrices, tienes que multiplicar por la matriz inversa. Hemos preparado una guía paso a paso para calcular la inversa de una matriz de 3×3 a mano, utilizando determinantes y reducción lineal de filas. Además, te enseñaremos a encontrar la inversa con una calculadora gráfica avanzada.