Calcular la matriz inversa por adjuntos

Cómo calcular la matriz inversa

En álgebra lineal, el adjunto o adjunto clásico de una matriz cuadrada A es el transpuesto de su matriz cofactora y se denota por adj(A).[1][2] También se conoce ocasionalmente como matriz adjunta,[3][4] o “adjunto”,[5] aunque este último término hoy en día normalmente se refiere a un concepto diferente, el operador adjunto que para una matriz es el transpuesto conjugado.

Para más detalle, supongamos que R es un anillo unital conmutativo y A es una matriz n × n con entradas de R. El (i, j)-minor de A, denotado Mij, es el determinante de la matriz (n – 1) × (n – 1) que resulta de borrar la fila i y la columna j de A. La matriz cofactora de A es la matriz n × n C cuya entrada (i, j) es el (i, j) cofactor de A, que es el (i, j)-minor multiplicado por un factor de signo:

El -1 de la segunda fila, tercera columna del adjugado se calculó como sigue. La entrada (2,3) del adjunto es el cofactor (3,2) de A. Este cofactor se calcula utilizando la submatriz obtenida al eliminar la tercera fila y la segunda columna de la matriz original A,

Matriz de cofactores

Si #A# es una matriz invertible, entonces podemos escribir la solución de una ecuación de la forma #A\vec{x} = \vec{b}# en el vector desconocido #\vec{x}# directamente en términos de los determinantes de submatrices que se producen en la expansión de filas o columnas. Estas submatrices son las #((n-1)\times(n-1))#-matrices #A_{ij}# que se pueden obtener de #A# borrando la #i#-ésima fila y la #j#-ésima columna. Además, el siguiente concepto desempeña un papel fundamental.

Por #\vec{k}_1,\ldots ,\vec{k}_n# denotamos las columnas de #A#. Sea #\vec{b}# cualquier vector en #\mathbb{R}^n#. Por #A_j (\vec{b} )# indicamos la matriz que se puede obtener de #A# sustituyendo la columna #j#-ésima por #\vec{b}#. Entonces tenemos que \[ \det (A_j(\vec{k}_\ell))=\begin{casos}\det(A)&\text{si } \ell=j\\ 0&\text{otherwise}\end{cases}\]

1. Expandiendo el determinante \(\det (A_j(\vec{k}_\ell))\) con respecto a la #j#-ésima columna, nos encontramos con \[\begin{array}{rcl}\det(A_j(\vec{k}_\ell)) &=& \sum_{i=1}^n (-1)^{i+j}a_{i\ell}\det (A_{ij})\&&\phantom{xxx}\color{azul}{\text{\}la }j\text{- de A_j(\vec{k}_\ell)\text{ es }\vec{k}_\ell=\cv{a_{1\ell}\vdots\a_{n\ell}}&&=& \sum_{i=1}^n \left((- 1)^{i+j}\det (A_{ij}) \right)\cdot a_{i\ell}\&&phantom{xxx}\color{azul}{\text{intercambiado el orden de los dos últimos factores}\&=&\text{el} (j,\ell)\text{-entrada de }\text{adj}(A)}, A{\\}&&\phantom{xxx}\color{blue}{(-1)^{i+j}\det (A_{ij})=\text{el }(j,i)\text{-entrada de }\text{adj}(A)} \end{array}]En el último paso, utilizamos la definición del producto matricial.

Matriz de cofactores 3×3

Antes de pasar a ver cómo hallar la inversa de una matriz 2×2, recordemos el significado de inversa. En general, la inversa de un número real es un número que al multiplicarse por el número dado da como resultado la identidad multiplicativa, que es 1. En matrices, la inversa de una matriz A (que se denota por A-1) es una matriz que al multiplicarse por A da la matriz identidad, I. es decir, AA-1 = A-1A = I. Pero, ¿cómo hallar la inversa de una matriz 2×2?

La inversa de una matriz de 2×2, digamos A, es una matriz del mismo orden denotada por A-1 tal que AA-1 = A-1A = I, donde I es la matriz identidad de orden 2×2. es decir, I = \(\left[\begin{array}{rr}1 & 0 \\\ 0 & 1 \end{array}\right]\). En general, la inversa de una matriz A se encuentra utilizando la fórmula (adj A)/(det A), donde “adj A” es el “adjunto de A” y “det A” es el “determinante de A”. Pero en el caso de una matriz de 2×2 A = \(\left[\begin{array}{rr}a & b \\\ c & d \end{array}\right]\), podemos encontrar la inversa directamente utilizando la siguiente fórmula.

La fórmula de la inversa de una matriz de 2×2 utiliza el determinante de la matriz. Sabemos que el determinante de una matriz de 2×2 A = \(\left[\begin{array}{rr}a & b \\\\ c & d \end{array}\right]\) es det(A) = ad – bc. es decir, para encontrar el determinante, simplemente multiplicamos los elementos de cada una de las dos diagonales y restamos (el producto de los elementos de la diagonal principal es el minuendo).

Cálculo de matrices

He estado desarrollando un software de control en lenguaje C que funciona en tiempo real. El software implementa entre otros un observador discreto de espacio de estados del sistema controlado. Para la implementación del observador es necesario calcular la inversa de la matriz de 4×4 dimensiones. El cálculo de la matriz inversa tiene que hacerse cada 50 microsegundos y vale la pena decir que durante este período de tiempo también se harán otros cálculos que consumen bastante tiempo. Así que el cálculo de la matriz inversa tiene que consumir mucho menos de 50 microsegundos. También hay que decir que el DSP utilizado no tiene ALU con soporte de operaciones en coma flotante.

He estado buscando alguna forma eficiente de hacerlo. Una idea que tengo es preparar la fórmula general para el cálculo del determinante de la matriz 4×4 y la fórmula general para el cálculo de la matriz adjunta de la matriz 4×4 y luego calcular la matriz inversa de acuerdo con la fórmula dada a continuación.

Como entiendo el consenso entre los que estudian álgebra lineal numérica, el consejo es evitar el cálculo de matrices inversas innecesariamente. Por ejemplo, si la inversa de A aparece en su controlador sólo en expresiones como