Teorema de la matriz invertible
Aunque se ha argumentado que esta función es potencialmente cara y que hay otras maneras por las cuales un usuario de la API podría pasar la inversa de una matriz dada a un shader (incluyendo escribir tu propia función en un shader mismo), parece que tener una función incorporada podría ser super conveniente en ocasiones:
transponer es extremadamente barato (menos que barato, ¡a menudo es gratis!) mientras que invertir es extremadamente caro. La tabla enlazada es incorrecta; está soportada por GLSL, y por extensión, por SPIR-V (OpMatrixInverse). No está soportado por HLSL o MSL debido a su gran coste.
Sugiero que la vuelta para ese caso podría ser una matriz que tenga todas las entradas a cero, llamémosla “matriz nula”. Todas las matrices invertibles tienen un determinante distinto de cero: una matriz nula tiene el determinante = 0, por lo que es fundamentalmente diferente de todas las matrices invertibles y es fácil de detectar.
En este caso, con la definición propuesta, el resultado sería v = (0, 0, 0): esto no hará explotar los cálculos y es fácil detectar que algo salió mal (–>M no era invertible) porque normalmente no se espera tener un vector nulo a partir de una multiplicación de matriz a vector sin haber usado deliberadamente una matriz nula en esa multiplicación.
Inversa del producto de matrices
Si esto es difícil de responder en un entorno tan general, ¿suponer que $A$ es definida positiva o dispersa ayudaría a simplificar el problema? ¿Hay otros supuestos que podrían ayudar a simplificar el problema?
Bueno, estás pidiendo mucho, pero con algunos supuestos hay resultados para este problema. También hay una gran diferencia entre las entradas diagonales y las no diagonales y entre los límites inferior y superior. Pero no es inútil.
Estos artículos tratan principalmente el caso definido positivo. Otro tipo de enfoque, que ni siquiera requiere simetría, asume en cambio el dominio diagonal de $A$. Este tipo de cosas suelen estar incrustadas como lemas en otras cosas, así que hay que saber dónde buscarlas. Por ejemplo, el lema 2.1 aquí.
Matriz invertible
McDonald, J., Nandi, R., Sivakumar, K., Sushmitha, P., Tsatsomeros, M., Wendler, E. & Wendler, M. (2020). M-matrix and inverse M-matrix extensions. Special Matrices, 8(1), 186-203. https://doi.org/10.1515/spma-2020-0113
McDonald, J., Nandi, R., Sivakumar, K., Sushmitha, P., Tsatsomeros, M., Wendler, E. and Wendler, M. (2020) M-matrix and inverse M-matrix extensions. Special Matrices, Vol. 8 (Issue 1), pp. 186-203. https://doi.org/10.1515/spma-2020-0113
McDonald, J.J., Nandi, R., Sivakumar, K.C., Sushmitha, P., Tsatsomeros, M.J., Wendler, Enzo y Wendler, Megan. “M-matrix and inverse M-matrix extensions” Special Matrices 8, no. 1 (2020): 186-203. https://doi.org/10.1515/spma-2020-0113
McDonald J, Nandi R, Sivakumar K, Sushmitha P, Tsatsomeros M, Wendler E, Wendler M. M-matrix and inverse M-matrix extensions. Matrices especiales. 2020;8(1): 186-203. https://doi.org/10.1515/spma-2020-0113
Inversa de una matriz 3×3
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donde In denota la matriz identidad n-por-n y la multiplicación utilizada es la multiplicación matricial ordinaria.[1] Si este es el caso, entonces la matriz B está determinada unívocamente por A, y se llama la inversa (multiplicativa) de A, denotada por A-1. La inversión de matrices es el proceso de encontrar la matriz B que satisface la ecuación anterior para una matriz invertible A dada.
Sobre un campo, una matriz cuadrada que no es invertible se denomina singular o degenerada. Una matriz cuadrada con entradas en un campo es singular si y sólo si su determinante es cero. Las matrices singulares son raras en el sentido de que si las entradas de una matriz cuadrada se seleccionan al azar de cualquier región acotada de la recta numérica o del plano complejo, la probabilidad de que la matriz sea singular es 0, es decir, “casi nunca” será singular. Las matrices no cuadradas (matrices de m por n para las que m ≠ n) no tienen inversa. Sin embargo, en algunos casos